Question

【題目】如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，且.

（1）證明：平面平面；

（2）當(dāng)，且與平面所成角的正切值為時(shí)，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

(1)由已知條件和面面垂直性質(zhì)定理可以證得平面，有，再運(yùn)用面面垂直的判定定理證明平面平面

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向建立直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，運(yùn)用公式求出二面角夾角的余弦值，繼而求出正弦值

（1）由題設(shè)知，平面平面，交線為.

因?yàn)?/span>，平面，所以平面，

因此，又，，所以平面.

而平面，所以平面平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則有，

過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則.

因?yàn)?/span>，所以，，

由題設(shè)可得，即，

解得或，

因?yàn)?/span>，所以，所以，.

由，知是平面的法向量，

，.

設(shè)平面的法向量為，

則取得，

設(shè)二面角為，

則，

因?yàn)?/span>，

.

綜上，二面角的正弦值為.