設(shè)函數(shù)f(x)=log2
2x-1
2x+1
(x<-
1
2
或x>
1
2
)

(1)證明:f(x)是奇函數(shù);
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)寫出函數(shù)g(x)=log2
2x+1
2x+3
圖象的一個對稱中心.
分析:(1)根據(jù)已知中函數(shù)的解析式及定義域,我們只要根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求出f(-x)的解析式,與f(x)比較后可得f(x)是奇函數(shù);
(2)根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的求出,我們分別確定u=1-
2
2x+1
和y=log2u,進而根據(jù)同增異減的原則,可以分析出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)根據(jù)函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)解析式的關(guān)系,易得函數(shù)g(x)=log2
2x+1
2x+3
=log2
2(x+1)-1
2(x+1)+1
的圖象是由f(x)圖象向左平移一個單位得到的,結(jié)合(1)中結(jié)論可得函數(shù)g(x)圖象的對稱中心.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=log2
2x-1
2x+1
(x<-
1
2
或x>
1
2
)

f(-x)=log2
-2x-1
-2x+1
=log2
2x+1
2x-1
=log2(
2x-1
2x+1
)-1
=-log2
2x-1
2x+1
=-f(x)
即f(x)是奇函數(shù);(4分)
(2))∵函數(shù)f(x)=log2
2x-1
2x+1
=log2(1-
2
2x+1
)

∵在(-∞,-
1
2
)
上u=1-
2
2x+1
為增函數(shù),y=log2u也為增函數(shù)
(-∞,-
1
2
)
是函數(shù)f(x)=log2
2x-1
2x+1
的單調(diào)遞增區(qū)間
又∵奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同
(
1
2
,+∞)
也是函數(shù)f(x)=log2
2x-1
2x+1
的單調(diào)遞增區(qū)間…(6分)
(3)由(1)中f(x)是奇函數(shù)
故f(x)圖象的對稱中心為原點(0,0)
∵函數(shù)g(x)=log2
2x+1
2x+3
=log2
2(x+1)-1
2(x+1)+1
的圖象是由f(x)圖象向左平移一個單位得到的
故函數(shù)g(x)=log2
2x+1
2x+3
圖象的對稱中心為(-1,0)…(4分)
點評:本題是函數(shù)奇偶性的證明,函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,及函數(shù)圖象平移的綜合應(yīng)用,其中(1)(2)的關(guān)鍵是熟練掌握判定函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的方法,(3)的關(guān)鍵是分析出兩個函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系.
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