Question

15．如果曲線2|x|-y-4=0與曲線x²+λy²=4（λ＜0）恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)λ的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，0）．

Answer 1

分析 去絕對值可得x≥0時，y=2x-4；當x＜0時，y=-2x-4，數(shù)形結合可得曲線必相交于（±2，0），分別聯(lián)立方程結合一元二次方程根的分布可得．

解答 解：由2|x|-y-4=0可得y=2|x|-4，
當x≥0時，y=2x-4；當x＜0時，y=-2x-4，
∴函數(shù)y=2|x|-4的圖象與方程x²+λy²=4的曲線必相交于（±2，0）
∴為了使函數(shù)y=2|x|-4的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個不同的公共點，
則y=2x-4代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+4λ）x²-16λx+16λ-4=0，
當λ=-$\frac{1}{4}$時，x=2滿足題意，由于△＞0，2是方程的根，∴$\frac{16λ-4}{1+4λ}$＜0，
解得-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{1}{4}$時，方程兩根異號，滿足題意；
y=-2x-4代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+4λ）x²+16λx+16λ-4=0
當λ=-$\frac{1}{4}$時，x=-2滿足題意，由于△＞0，-1是方程的根，∴$\frac{16λ-4}{1+4λ}$＜0，
解得-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{1}{4}$時，方程兩根異號，滿足題意；
∵λ＜0，∴實數(shù)λ的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，0）．
故答案為[-$\frac{1}{4}$，0）．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質，考查分類討論的數(shù)學思想和不等式的解法以及數(shù)形結合，屬中檔題．