Question

（本題滿分12分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于
的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn).證明：恒為定值.

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）為定值.證明見解析。

本試題主要是考出了橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用的綜合考查，體現(xiàn)了運(yùn)用代數(shù)的方法解決解析幾何的本質(zhì)的運(yùn)用。
（1）首先根據(jù)題意的幾何性質(zhì)來表示得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，從而得到其橢圓的方程。
（2設(shè)出直線方程，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)斜式得到AP的方程，然后聯(lián)立方程組，可知借助于韋達(dá)定理表示出長(zhǎng)度，進(jìn)而證明為定值。
（Ⅰ）解：由題意可知，，，
解得.       …………4分
所以橢圓的方程為.     …………5分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知,，.設(shè)，依題意，
于是直線的方程為，令，則.
即.              …………7分
又直線的方程為，令，則，
即.              …………9分
 …………11分
又在上，所以,即，代入上式，
得,所以為定值.         …………12分