Question

已知函數f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）
①求函數f（x）的定義域；
②判斷函數f（x）的奇偶性并證明你的結論．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知，2^x-1≠0，得x≠0，從而求出函數的定義域；
（2）判斷f（-x）和f（x）的關系，又由（1），f（x）的定義域關于原點對稱，從而得到函數的奇偶性．

解答： 解：（1）由已知，2^x-1≠0，得x≠0，
∴函數f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}；
（2）函數f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)是偶函數，
∵f（-x）=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)
=x（

1

2x-1

+

1

2

），
∴f（-x）=f（x），
又由（1），f（x）的定義域關于原點對稱，
∴函數f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)是偶函數．

點評：本題考查了函數的奇偶性，利用奇偶性的定義判斷即可，本題是一道基礎題．