已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足:①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③當(dāng)x1,x2≥0,x1+x2≤1時(shí)有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最大值;
(3)證明:當(dāng)x∈(
1
2
,1]時(shí),f(x)<2x;當(dāng)x∈[0,
1
2
]時(shí),f(x)≤
1
2
f(2x).
分析:(1)利用賦值法,令x1=1,x2=0,利用函數(shù)性質(zhì)③即可求得f(0)的值;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,任取0≤x1<x2≤1,利用性質(zhì)③和①證明f(x2)≥f(x1),從而證明函數(shù)在定義域上為增函數(shù),利用單調(diào)性求函數(shù)的最值即可;
(3)利用結(jié)論(2)即可證明當(dāng)x∈(
1
2
,1]時(shí),f(x)<2x,利用函數(shù)性質(zhì)③即可證明當(dāng)x∈[0,
1
2
]時(shí),f(x)≤
1
2
f(2x).
解答:解:(1)令x1=1,x2=0,則f(1+0)≥f(1)+f(0),∴f(0)≤0,
又∵于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0,∴f(0)≥0,
∴f(0)=0
(2)任取0≤x1<x2≤1,可知x2-x1∈(0,1],則f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)≥0
故f(x2)≥f(x1),∴定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)為增函數(shù),
于是當(dāng)0≤x≤1時(shí),有f(x)≤f(1)=1,
故當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最大值1.
(3)證明:當(dāng)x∈(
1
2
,1]時(shí),由(2)知f(x)≤1,而2x>2×
1
2
=1
∴f(x)<2x
當(dāng)x∈[0,
1
2
]時(shí),2x≤1,f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),
∴f(x)≤
1
2
f(2x)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映的函數(shù)性質(zhì),及利用抽象表達(dá)式求值、證明的方法,恰當(dāng)?shù)睦煤瘮?shù)性質(zhì)進(jìn)行變形和放縮是解決本題的關(guān)鍵
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足:
①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的最大值;
(3)若對(duì)于任意x∈[0,1],總有4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:
①對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; 
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,并且稱(chēng)f(x)為“友誼函數(shù)”,
請(qǐng)解答下列各題:
(1)若已知f(x)為“友誼函數(shù)”,求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.
(3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,且 0≤x1<x2≤1,求證:f(x1)≤f(x2).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足:
①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f (x1+x2)≥f (x1)+f (x2).
(1)試求f(0)的值;
(2)試求函數(shù)f(x)的最大值;
(3)試證明:當(dāng)x∈(
1
2n
,
1
2n-1
]
,n∈N+時(shí),f(x)<2x.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:①對(duì)任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否同時(shí)適合①②③?并予以證明;
(3)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證:f(x0)=x0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f (x)同時(shí)滿(mǎn)足:
①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)試求f(0)的值;
(2)試求函數(shù)f (x)的最大值;
(3)試證明:當(dāng)x∈(
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1
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]
時(shí),f(x)<2x.

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