Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

2

，點(diǎn)P（2，1）在橢圓上，平行于OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l交橢圓于（xA，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，那么k₁+k₂，是否為定值，若是求出該定值，若不是說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得a=2

2

…（1分）設(shè)橢圓方程為

x2

8

+

y2

b2

=1，將點(diǎn)P（2，1）代入能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．由k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出k₁+k₂=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

2

，點(diǎn)P（2，1）在橢圓上，
∴由已知得a=2

2

…（1分）
設(shè)橢圓方程為

x2

8

+

y2

b2

=1，
將點(diǎn)P（2，1）代入解得b²=2…（3分）
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）k₁+k₂=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（Ⅰ）得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．…（6分）
∵k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

∴k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴k₁+k₂=0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之和是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．