【題目】如圖,在四棱錐中,
平面ABCD,底部ABCD為菱形,E為CD的中點.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;
(Ⅲ)棱PB上是否存在點F,使得CF∥平面PAE?說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;
(Ⅱ)見解析;
(Ⅲ)見解析.
【解析】
(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論;
(Ⅱ)由幾何體的空間結構特征首先證得線面垂直,然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直;
(Ⅲ)由題意,利用平行四邊形的性質和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點.
(Ⅰ)證明:因為平面
,所以
;
因為底面是菱形,所以
;
因為,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)證明:因為底面是菱形且
,所以
為正三角形,所以
,
因為,所以
;
因為平面
,
平面
,
所以;
因為
所以平面
,
平面
,所以平面
平面
.
(Ⅲ)存在點為
中點時,滿足
平面
;理由如下:
分別取的中點
,連接
,
在三角形中,
且
;
在菱形中,
為
中點,所以
且
,所以
且
,即四邊形
為平行四邊形,所以
;
又平面
,
平面
,所以
平面
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
.
(1)討論函數(shù)在定義域內的極值點的個數(shù);
(2)若函數(shù)在
處取得極值,且對任意
,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當時,求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(12分)已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上的單調性,并用定義證明你的結論.
(2)求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知有6名男醫(yī)生,4名女醫(yī)生.
(1)選3名男醫(yī)生,2名女醫(yī)生,讓這5名醫(yī)生到5個不同地區(qū)去巡回醫(yī)療,一個地區(qū)去一名教師,共有多少種分派方法?
(2)把10名醫(yī)生分成兩組,每組5人且每組都要有女醫(yī)生,共有多少種不同的分法?若將這兩組醫(yī)生分派到兩地去,又有多少種分派方法?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
為實數(shù),且
,記由所有
組成的數(shù)集為
.
(1)已知,求
;
(2)對任意的,
恒成立,求
的取值范圍;
(3)若,
,判斷數(shù)集
中是否存在最大的項?若存在,求出最大項;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查,下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關?
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
(2)將上述調查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X,若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X)
P( K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】樣本(x1 , x2…,xn)的平均數(shù)為x,樣本(y1 , y2 , …,ym)的平均數(shù)為 (
≠
).若樣本(x1 , x2…,xn , y1 , y2 , …,ym)的平均數(shù)
=α
+(1﹣α)
,其中0<α<
,則n,m的大小關系為( )
A.n<m
B.n>m
C.n=m
D.不能確定
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓 (a>b>0)的左、右焦點分別為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0).已知(1,e)和(e,
)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.
(i)若AF1﹣BF2= ,求直線AF1的斜率;
(ii)求證:PF1+PF2是定值.
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