【題目】動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和該動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的比是常數(shù).
(1)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程;
(2)已知點(diǎn),問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點(diǎn),都有.
【答案】(1);(2)存在,坐標(biāo)為
【解析】
(1)根據(jù)題意列出點(diǎn)滿足的關(guān)系式,再化簡(jiǎn)方程即可.
(2) 設(shè),再討論當(dāng)⊥軸時(shí)可得,即若存在定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.再討論斜率存在時(shí),設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,求出韋達(dá)定理,證明即可.
(1)由題意,知,即.
解得曲線的方程為.
(2)法一:設(shè),易知,
①若⊥軸時(shí),由,此時(shí),滿足橢圓方程,
∴,解得(舍),可知若存在定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,
設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,
消去得,∴.
,∴
,
綜合①②可知,存在點(diǎn),使得.
(2)(解法二)設(shè),易知,設(shè).
若不垂直軸,的斜率為,則直線的方程為,
,,
,
即是①,
由,得,
代入①式得
化簡(jiǎn),
整理得②,
為使與斜率無(wú)關(guān),由②式得出,解得(舍),
這說(shuō)明與軸不垂直時(shí),是過(guò)的弦,恒有,
若⊥軸時(shí),:,是等腰三角形,,
,,,,
可見是等腰直角三角形,,
綜上,過(guò)的弦總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足“存在正數(shù),使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值,在其定義域內(nèi)都存在,使成立”,則稱該函數(shù)為“依附函數(shù)”.
(1)分別判斷函數(shù)①,②是否為“依附函數(shù)”,并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)的值域?yàn)?/span>,求證:“是‘依附函數(shù)’”的充要條件是“”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐的底面是邊長(zhǎng)的菱形,,的中點(diǎn)是頂點(diǎn)在底面的射影,是的中點(diǎn).
(1)求證:面平面;
(2)若,求面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)急需住院人數(shù)超過(guò)醫(yī)院所能收治的病人數(shù)量時(shí)就會(huì)發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象,在新冠肺炎爆發(fā)期間,境外某市每日下班后統(tǒng)計(jì)住院人數(shù),從中發(fā)現(xiàn):該市每日因新冠肺炎住院人數(shù)均比前一天下班后統(tǒng)計(jì)的住院人數(shù)增加約25%,但每日大約有200名新冠肺炎患者治愈出院,已知該市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治療,該市的醫(yī)院共可收治4000名新冠肺炎患者,若繼續(xù)按照這樣的規(guī)律發(fā)展,該市因新冠肺炎疫情發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象,只需要約( )
參考數(shù)據(jù):.
A.7天B.10天C.13天D.16天
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
討論函數(shù)的單調(diào)性;
設(shè),對(duì)任意的恒成立,求整數(shù)的最大值;
求證:當(dāng)時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn),且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為4.
(1)若動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線,求曲線的方程;
(2)在曲線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)滿足為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線為l : x+y-1=0,求a,b的值;
(3)若恒成立,求的最大值.
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