Question

p：mx²+x+1=0至少有一個負根；q：2mx²+x+1=0無實根，若p∨q為真，p∧q為假，求：m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：分m=0，m＜0，m＞0三種情況討論mx²+x+1=0至少有一個負根時m的范圍，再求出2mx²+x+1=0無實根時m的范圍，進而根據p∨q為真，p∧q為假，即p，q一真一假，再分別討論p真q假和p假q真m的范圍，綜合討論結果，可得答案．
解答：解：∵命題p：mx²+x+1=0至少有一個負根
m=0時，滿足要求
m＜0時，△＞0恒成立，由韋達定理可得兩根異號，滿足要求
m＞0時，令△=1-4m≥0，即0＜m≤，由韋達定理可得兩根同為負，滿足要求
綜上命題p為真時，m≤，
又∵命題q：2mx²+x+1=0無實根，則△=1-8m＜0，解得m＞
若p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假
當p真q假時，m≤，
當p假q真時，m≥
綜上m的范圍{m|m≤，或m≥}
點評：本題考查的知識點是復合命題的真假，其中分別求出命題p和命題q為真是m的范圍是解答的關鍵．