給出以下命題:
①函數(shù)f(x)=|log2x2|既無最大值也無最小值;
②函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|的圖象關(guān)于直線x=1對稱;
③向量
AB
與向量
CD
共線,則A,B,C,D四點(diǎn)共線;
④若函數(shù)f(x)滿足|f(-x)|=|f(x)|,則函數(shù)f(x)或是奇函數(shù)或是偶函數(shù);
⑤設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x1,x2∈R,x1<x2有f(x1)-f(x2)<x1-x2恒成立,則函數(shù)F(x)=f(x)-x在R上遞增.
其中正確的命題是
②④⑤
②④⑤
(寫出所有真命題的序號)
分析:①根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行判斷;
②根據(jù)對稱軸的公式進(jìn)行判斷;
③根據(jù)向量平行與共線的性質(zhì)進(jìn)行判斷;
④特殊函數(shù)常數(shù)函數(shù),對其判斷;
⑤用定義法判斷則函數(shù)F(x)=f(x)-x在R上是否為遞增;
解答:解:①∵函數(shù)f(x)=|log2x2|≥0,顯然有最小值,故①錯誤;
②∵函數(shù)f(x)=x2-2x-3,的對稱軸x=-
-2
2
=1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=|x2-2x-3|與函數(shù)f(x)=x2-2x-3對稱軸一樣,∴函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|的圖象關(guān)于直線x=1對稱,故②正確;
③∵兩個向量平行就也叫共線,向量
AB
CD
,但A B C D四點(diǎn)不一定共線,故③錯誤;
④∵|f(-x)|=|f(x)|,∴f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),∴函數(shù)f(x)或是奇函數(shù)或是偶函數(shù),故④正確;
⑤∵對任意x1,x2∈R,x1<x2有f(x1)-f(x2)<x1-x2恒成立,
∴F(x1)-F(x2)=f(x1)-x1-f(x2)+x2=f(x1)-f(x2)-(x1-x2)<0,
∴F(x1)<F(x2),
∴函數(shù)F(x)=f(x)-x在R上遞增.
故⑤正確;
故答案為②④⑤;
點(diǎn)評:此題主要考查二次函數(shù),向量的共線,以及奇偶函數(shù)的性質(zhì),用定義法判斷函數(shù)的增減性,知識點(diǎn)比較多比較全面,是一道小型綜合題,難度不是很大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于實(shí)數(shù)x,符號[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如[π]=3,[-1.08]=-2等,定義函數(shù)f(x)=x-[x],給出以下命題:
①函數(shù)f(x)的最小值為0;
②方程f(x)=
12
有且僅有一個解;
③函數(shù)f(x)是增函數(shù);
④函數(shù)f(x)是周期函數(shù).
其中正確命題的序號為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),給出以下命題:①函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù);②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(k,0)(k∈Z)對稱;④若函數(shù)f(x)是(0,1)上的增函數(shù),則f(x)是(3,5)上的增函數(shù),其中正確命題的番號是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),給出以下命題:
①函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù);            
②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;
③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(k,0)(k∈Z)對稱;
④若函數(shù)f(x)是(0,1)上的增函數(shù),則f(x)是(3,5)上的增函數(shù),其中正確命題有
①③
①③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)在研究此函數(shù)時給出以下命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,1];     
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
③對任意的x1,x2∈R,存在x0,使得f(x1)+f(x2)=2f(x0)成立;
④若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述命題中正確的是
②③
②③
.(請將正確命題的序號都填上)

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