已知，e為自然對數(shù)lnx的底數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)0＜α＜β時(shí)，求證：；
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并證明當(dāng)n＞2，n∈N*時(shí)，．
【答案】分析：（Ⅰ）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間即h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后將a分離，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出不等式另一側(cè)的最值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)ϕ（x）在（0，y）的單調(diào)性，求最小值，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）令m（x）=f（x）-x=lnx-x，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)m（x）的單調(diào)性，從而可求出最值，得到lnx≤-1+x，從而得到，從而可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：函數(shù)．
∴在（0，+∞）上有解，
即ax2+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，
由ax2+3x-1＞0得．
∵當(dāng)x＞0，
∴a的范圍是．                                          …（4分）
（Ⅱ）證明：構(gòu)造函數(shù)．
∴．
∵0＜x＜y，
∴，即函數(shù)ϕ（x）在（0，y）上是減函數(shù)，且ϕ（y）=0．
∴，
原不等式成立．              …（8分）
（Ⅲ）證明：∵，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴
∴函數(shù)m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值為-1．                     …（11分）
由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x．
∴，…（12分）
∴=
當(dāng)n＞2，n∈N*時(shí)，． …（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和構(gòu)造法的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某商店經(jīng)銷一種奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每賣出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交a元（a為常數(shù)，2≤a≤5 ）的稅收．設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（35≤x≤41），根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例．已知每件產(chǎn)品的日售價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10件．
（1）求該商店的日利潤L（x）元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為多少元時(shí)，該商品的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•牡丹江一模）已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-1+
aex
（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1的值時(shí)，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某著名景區(qū)新近開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每賣出一件產(chǎn)品需向地方稅務(wù)部門上交3元的稅收．設(shè)每件紀(jì)念品的售價(jià)為x元（30≤x≤40），根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例．已知每件紀(jì)念品的售價(jià)為40元時(shí)，銷售量為10件．
（1）求該景區(qū)的日利潤L（x）元與每件紀(jì)念品的售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件紀(jì)念品的售價(jià)為多少元時(shí)，該景區(qū)的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex(x＞0)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線(2
2
，
π
4
)在（1，l：x=1）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積；
（Ⅱ）若函數(shù)ρ=
22+22
=2
2
存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且極大值與極小值的積為e5，求a的值．

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