Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，不等式f（x）≥bx-2對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對函數(shù)進行求導，然后令導函數(shù)大于0求出x的范圍，令導函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值求出a的值，再依據(jù)不等式恒成立時所取的條件，求出實數(shù)b的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
.$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$．
若a≤0，則f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上遞減；
若a＞0，則由f'（x）＞0得：$x＞\frac{1}{a}$；
由f'（x）＜0得：$0＜x＜\frac{1}{a}$．
∴f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上遞減，在$（\frac{1}{a}，+∞）$遞增．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（1）=0，即a-1=0，解得：a=1．
∴f（x）=x-1-lnx．
由f（x）≥bx-2得：x-1-lnx≥bx-2，
∵x＞0，
∴$b≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$．
令$g（x）=1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，
則$g'（x）=\frac{lnx-2}{x^2}$
由g'（x）＞0得：x＞e²；
由g'（x）＜0得：0＜x＜e²．
所以，g（x）在（0，e²）上遞減，在（e²，+∞）遞增．
∴$g{（x）_{min}}=g（{e^2}）=1-\frac{1}{e^2}$，
∴$b≤1-\frac{1}{e^2}$．

點評 本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．