Question

已知函數(shù)
(1)求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；
(3)若存在，使得是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)  (2) 單調(diào)增區(qū)間為 (3)

試題分析：⑴因為函數(shù)，
所以，，
又因為，所以函數(shù)在點處的切線方程為．
⑵由⑴，．
因為當時，總有在上是增函數(shù)，
又，所以不等式的解集為，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．
⑶因為存在，使得成立，
而當時，，
所以只要即可．
又因為，，的變化情況如下表所示：

	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

 
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當時，的最小值，的最大值為和中的最大值．
因為，
令，因為，
所以在上是增函數(shù)．
而，故當時，，即；
當時，，即．
所以，當時，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；當時，，即，函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．
綜上可知，所求的取值范圍為．
點評：第一問主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)值等于該點處的切線斜率；第二問求單調(diào)增區(qū)間主要是通過導(dǎo)數(shù)大于零；第三問的不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，這是函數(shù)題經(jīng)常用到的轉(zhuǎn)化方法，本題第三問有一定的難度