Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，令，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，判斷是否為的零點(diǎn)？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=x2﹣2lnx﹣x，x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)0＜x1＜x2，可得x12﹣2lnx1﹣x1=0，x22﹣2lnx2﹣x2=0，兩式相減化簡(jiǎn)可得x1+x2﹣1= ，再對(duì)g（x）求導(dǎo)，判斷的符號(hào)即可證明

試題解析：

（1）依題意知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且.

①當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，由得： ，

則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）不是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).

證明如下：由（Ⅰ）知函數(shù).

∵， 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，

∴，兩式相減得：

即：

又.

則

.

設(shè)，∵，∴，

令， .

又，∴，∴在上是増函數(shù)，

則，即當(dāng)時(shí)， ，

從而，

又所以，

故，所以不是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).