【題目】已知 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π.
(1)求證: 互相垂直;
(2)若k ﹣k 的長度相等,求β﹣α的值(k為非零的常數(shù)).

【答案】
(1)證明:由題意得: + =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)

=(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ)

∴( + )( )=(cosα+cosβ)(cosα﹣cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα﹣sinβ)

=cos2α﹣cos2β+sin2α﹣sin2β=1﹣1=0

+ 互相垂直


(2)解:方法一:k + =(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),

﹣k =(cosα﹣kcosβ,sinα﹣ksinβ)

|k + |= ,| ﹣k |=

由題意,得4cos(β﹣α)=0,

因?yàn)?<α<β<π,

所以β﹣α=

方法二:由|k + |=| ﹣k |得:|k + |2=| ﹣k |2

即(k + 2=( ﹣k 2,k2| |2+2k +| |2=| |2﹣2k +k2| |2

由于| |=1,| |=1

∴k2+2k +1=1﹣2k +k2,故 =0,

即(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=0

即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos(β﹣α)=0

因?yàn)?<α<β<π,

所以β﹣α=


【解析】(1)根據(jù)已知中向量 的坐標(biāo),分別求出向量 + 的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,可證得 互相垂直;(2)方法一:分別求出k ﹣k 的坐標(biāo),代入向量模的公式,求出k ﹣k 的模,進(jìn)而可得cos(β﹣α)=0,結(jié)合已知中0<α<β<π,可得答案.方法二:由|k + |=| ﹣k |得:|k + |2=| ﹣k |2 , 即(k + 2=( ﹣k 2 , 展開后根據(jù)兩角差的余弦公式,可得cos(β﹣α)=0,結(jié)合已知中0<α<β<π,可得答案.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,掌握若平面的法向量為,平面的法向量為,要證,只需證,即證;即:兩平面垂直兩平面的法向量垂直即可以解答此題.

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(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;

(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);

(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

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①當(dāng)c=0時,圓O上有四個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1;

②若圓O上有四個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1,則-13<c<13;

③若圓O上恰有三個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1,則c=13;

④若圓O上恰有兩個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1,則13<c<39;

⑤當(dāng)c=±39時,圓O上只有一個點(diǎn)到直線l的距離為1.

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