Question

把數(shù)列{

1

n2+n

}依次按第一個(gè)括號一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號四個(gè)數(shù)，…按此規(guī)律下去，
即（

1

2

），（

1

6

，

1

12

），（

1

20

，

1

30

，

1

42

），（

1

56

，

1

72

，

1

90

，

1

110

），
則第10個(gè)括號內(nèi)各數(shù)字之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：利用裂項(xiàng)相消法，求出前面10個(gè)括號的數(shù)的總和，及前9個(gè)括號數(shù)的總和，相減可得答案．

解答： 解：∵

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴數(shù)列{

1

n2+n

}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

+

1

110

+…+

1

n2+n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

由于第一個(gè)括號一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號四個(gè)數(shù)，…
故前10個(gè)括號的數(shù)共有1+2+3+4+…+10=55個(gè)，
前面10個(gè)括號的數(shù)的總和為：S₅₅=

55

56

故前9個(gè)括號的數(shù)共有1+2+3+4+…+9=45個(gè)，
前面9個(gè)括號的數(shù)的總和為：S₄₅=

45

46

故第10個(gè)括號內(nèi)各數(shù)字之和為

55

56

-

45

46

=

5

1288

故答案為：

5

1288

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是歸納推理，數(shù)列求和，其中分析出數(shù)列{

1

n2+n

}的前n項(xiàng)和S_n=

n

n+1

是解答的關(guān)鍵．