Question

17．已知關于x的不等式x²-4x+t≤0的解集為A，若（-∞，t]∩A≠∅，則實數(shù)t的取值范圍是[0，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，問題等價于二次函數(shù)f（x）=x²-4x+t，在區(qū)間（-∞，t]內(nèi)至少存在一個數(shù)c 使得f（c）≤0，
利用否定命題：對于區(qū)間（-∞，t]內(nèi)的任意一個x都有f（x）＞0，求出t的取值范圍，再求對應原命題的實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：關于x的不等式x²-4x+t≤0的解集為A，且（-∞，t]∩A≠∅，
等價于二次函數(shù)f（x）=x²-4x+t，在區(qū)間（-∞，t]內(nèi)至少存在一個數(shù)c 使得f（c）≤0，
其否定是：對于區(qū)間（-∞，t]內(nèi)的任意一個x都有f（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤2}\\{f（t）＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{t＞2}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$②；
由①得$\left\{\begin{array}{l}{t≤2}\\{{t}^{2}-4t+t＞0}\end{array}\right.$，解得t＜0；
由②得$\left\{\begin{array}{l}{t＞2}\\{{2}^{2}-4×2+t＞0}\end{array}\right.$，解得t＞4；
即t＜0或t＞4；
∴二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，t]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f（c）≤0的實數(shù)t的取值范圍是[0，4]．
故t的取值范圍是[0，4]．
故答案為：[0，4]．

點評 本題考查了命題與命題否定的應用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與不等式的恒成立問題，是綜合性題目．