Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=

7

，PA=

3

，∠ABC=120°，G為線段PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BGD；
（2）求直線DG與平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）設點O為AC、BD的交點，連結OG，證明OG∥PA，即可證明PA∥平面BGD；
（2）確定DG與面PAC所成的角是∠DGO，即可求直線DG與平面PAC所成的角的正切值．

解答：（1）證明：設點O為AC、BD的交點，由AB=BC，AD=CD，得BD是線段AC的中垂線，所以O為AC的中點，
連結OG
因為G為PC的中點，所以OG∥PA，
又因為PA?平面BGD，OG?平面BGD，
所以PA∥面BGD-------------（6分）
（2）解：因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
又由（1）知BD⊥AC，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
所以DG與面PAC所成的角是∠DGO．
由（1）知：OG=

1

2

PA=

3

2

，在△ABC中，AC=

AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC

=2

3

，
所以OC=

1

2

AC=

3

，
在直角△OCD中，OD=

CD2-OC2

=2，
在直角△OGD中，tan∠DGO=

OD

OG

=

4

3

3

，
所以直線DG與面APC所成的角的正切值是

4

3

3

．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，正確運用線面平行的判定定理是關鍵．