【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求證：CB⊥PD；

（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）證明PO⊥平面ABCD得出PO⊥BC，利用勾股定理證明，從而BC⊥平面PBD，于是BC⊥PD；

（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，通過計算法向量的夾角得出二面角的大小．

解：（1）連，交于點(diǎn)，連

由平面，平面.

又

又

又

，

又

（2）由（1）知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由（1）知，則軸.

由平面幾何知識易得，

則

于是，

設(shè)平面的法向量為.

則，即，

取，則，則

同理可求得平面的一個向量

于是

分析知二角面的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，左頂點(diǎn)為.過點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程：

（2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對任意的直線，恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明理由；

（3）過點(diǎn)作直線的平行線與橢圓相交，為其中一個交點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某校今年高三畢業(yè)班報考飛行員學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1：2：3，其中體重在的有5人.

（1）求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù)；

（2）從該校報考飛行員的體重在學(xué)生中任選3人，設(shè)表示體重超過70的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某教師將寒假期間該校所有學(xué)生閱讀小說的時間統(tǒng)計如下圖所示，并統(tǒng)計了部分學(xué)生閱讀小說的類型，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

男生

女生

閱讀武俠小說

80

30

閱讀都市小說

20

70

（1）是否有99.9%的把握認(rèn)為“性別”與“閱讀小說的類型”有關(guān)？

（2）求學(xué)生閱讀小說時間的眾數(shù)和平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（3）若按照分層抽樣的方法從閱讀時間在、的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從這6人中隨機(jī)挑選2人介紹選取小說類型的緣由，求所挑選的2人閱讀時間都在的概率.

附：，.

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；

（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入,近似為樣本方差，經(jīng)計算得.利用該正態(tài)分布，求:

(i)在2019年脫貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？

（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況, 扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民。若每個農(nóng)民的年收人相互獨(dú)立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？

附：參考數(shù)據(jù)與公式，若～，則①；②；③.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為棱形，且面，，，，且，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.

（l）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上的兩個點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；

（2）若曲線與曲線，在第一象限分別交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍.

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