解:(1)由題意:g′(x)=
,∴g(x)的圖象在x=2切線的斜率為:g′(2)=
,
又f′(x)=2(x-1),∴f(x)的圖象在x=2切線的斜率為:f′(2)=2,
由兩曲線y=f(x)與y=g(x)在x=2處的切線互相垂直得:
,∴a=-1,
∴F(x)=f(x)-g(x)=(x-1)
2+lnx,(x>0)
∴F′(x)=2x+
-2≥2
-2>0
即函數(shù)F(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
(2)?(x)=
令h(x)=?(x)-x,由題意得h(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上至少有一解,
,令h'(x)=0,得
①當(dāng)
<0即a<0時,h(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞),
所以h(x)
max=h(1)=-1<0,所以方程h(x)=0無解.
②當(dāng)
>1即
時,h(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(
,減區(qū)間為(1,
),所以極大值h(1)=-1,極小值
,
又h(x)=
∴
,所以方程恰好有一解;
③當(dāng)
時,h'(x)≥0,由上②知方程也恰好有一解;
④當(dāng)
時,h(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
),(1,+∞),減區(qū)間為(
,1),
同上可得方程h(x)=0在(0,+∞)上至少有一解.
綜上所述,所求a的取值范圍為(0,+∞)
分析:(1)根據(jù)兩曲線y=f(x)與y=g(x)在x=2處的切線互相垂直,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線的斜率求出a值,再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)由于?(x)=
,令h(x)=?(x)-x,由題意得h(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上至少有一解,下面利用導(dǎo)數(shù)工具結(jié)合分類討論思想研究此函數(shù)的單調(diào)性,最后綜合得出a的取值范圍.
點評:本題以函數(shù)為載體,考查函數(shù)的解析式,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,注意利用導(dǎo)數(shù)工具的應(yīng)用.