Question

【題目】已知函數(shù).

（1）a=1時(shí),求函數(shù)f（x）的極值；

（2）若,求f（x）的最小值g（a）的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）極小值e﹣1,無(wú)極大值；（2）[ln2﹣1,e﹣1].

【解析】

(1)代入求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值可知,進(jìn)而求得的極值點(diǎn)與單調(diào)區(qū)間以及極值.

(2)求導(dǎo)后構(gòu)造導(dǎo)函數(shù)得出,再根據(jù)(1)中的結(jié)論可知恒成立,進(jìn)而可得在定義域上單調(diào)遞增.再根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知 在上有唯一解,且,進(jìn)而求得最小值,再根據(jù)隱零點(diǎn)問(wèn)題消去參數(shù),再構(gòu)造函數(shù)關(guān)于極值點(diǎn)的函數(shù)分析即可.

(1)當(dāng)a=1時(shí),,則,

令h（x）=ex﹣x,當(dāng)x∈（0,+∞）時(shí),h′（x）=ex﹣1＞0,

∴在（0,+∞）上,h（x）＞h（0）=1,即ex＞x,

令f′（x）=0,則x=1,經(jīng)檢驗(yàn),在（0,1）上,f′（x）＜0,f（x）單調(diào)遞減,在（1,+∞）上,f′（x）＞0,f（x）單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y=f（x）取得極小值e﹣1,無(wú)極大值；

(2),令,

則,

由（1）知,當(dāng)x∈（0,+∞）時(shí),

ex＞x,ex（x2﹣2x+2）﹣x＞x（x2﹣2x+2）﹣x=x（x﹣1）2≥0,

∴p′（x）＞0在（0,+∞）上恒成立,

∴f′（x）在定義域上單調(diào)遞增,

∵,

∴,

∴方程f′（x）=0在（0,+∞）上有唯一解,

設(shè)方程f′（x）=0的解為x0,則在（0,x0）上f′（x）＜0,在（x0,+∞）上f′（x）＞0,且1≤x0≤2,

∴f（x）的最小值為,

由f′（x）=0得,代入g（a）得,,

令,則,

∵﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1,

∴ex（﹣x2+2x﹣2）+x≤x﹣ex＜0,

∴φ（x）在[1,2]上為減函數(shù),

∴,

∴g（a）∈[ln2﹣1,e﹣1].