數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1an+2（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項和為Sn．
（1）若數(shù)列{an}的公差d等于首項a1，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意n∈N*，都有Sn=
b1an+34d
；
（2）若數(shù)列{an}滿足：3a5=8a12＞0，試問n為何值時，Sn取得最大值？并說明理由．
分析：（1）當n=1時，S1=b1，
b1a4
4d
=
b1(d+3d)
4d
=b1，原式成立．假設(shè)當n=k時，Sk=
bkak+3
4d
成立，由此證明n=k+1時，等式仍然成立．
（2）由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=-
56d
5
＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=-
d
5
＞0，a17=a5+12d=
4d
5
＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能夠推導(dǎo)出Sn中S16最大．
解答：解：（1）證明：當n=1時，S1=b1，
b1a4
4d
=
b1(d+3d)
4d
=b1，原式成立．（1分）
假設(shè)當n=k時，Sk=
bkak+3
4d
成立，（2分）
則Sk+1=Sk+bk+1=
bkak+3+bk+14d
4d
（4分）
=
akak+1ak+2ak+3+bk+14d
4d
=
akbk+1+bk+14d
4d
=
bk+1(ak+4d)
4d
=
bk+1ak+4
4d
（6分）
所以n=k+1時，等式仍然成立，故對于任意n∈N*，都有Sn=
bnan+3
4d
；（8分）
（2）因為3a5=8a12＞0，所以3a5=8（a5+7d），a5=-
56d
5
＞0，所以d＜0
又a16=a5+11d=-
d
5
＞0，a17=a5+12d=
4d
5
＜0，（11分）
所以a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，
因為b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，（13分）
a15=a5+10d=-
6d
5
＞0，a18=a5+13d=
9d
5
＜0，
所以a15＜-a18，所以b15＞-b16，b15+b16＞0，（15分）
故S16＞S14，所以Sn中S16最大．（16分）
點評：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合運用，解題時要認真審題，注意數(shù)列歸納法的合理運用，恰當?shù)剡M行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
i
=(1，0)，
jn
=(cos2
nπ
2
，sin
nπ
2
)，
Pn
=(an，sin
nπ
2
)(n∈N+)，數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=1，an+2=(i+
jn
)•
Pn
．
（I）求證：數(shù)列{a2k-1}是等差數(shù)；數(shù)列{a2k}是等比數(shù)列；（其中k∈N*）；
（II）記an=f（n），對任意的正整數(shù)n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知
i
=(1，0)，
jn
=(cos2
nπ
2
，sin
nπ
2
)，
Pn
=(an，sin
nπ
2
)(n∈N+)，數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=1，an+2=(i+
jn
)•
Pn
．
（I）求證：數(shù)列{a2k-1}是等差數(shù)；數(shù)列{a2k}是等比數(shù)列；（其中k∈N*）；
（II）記an=f（n），對任意的正整數(shù)n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年重慶市南開中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知滿足：．
（I）求證：數(shù)列{a2k-1}是等差數(shù)；數(shù)列{a2k}是等比數(shù)列；（其中k∈N*）；
（II）記an=f（n），對任意的正整數(shù)n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范圍．

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