Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-|{x-1}|，x＜2\\ \frac{1}{2}f（x-2），x≥2\end{array}\right.$，則方程xf（x）-1=0根的個數(shù)為6．

Answer 1

分析 由xf（x）-1=0，得f（x）=$\frac{1}{x}$，設(shè)y=f（x）與y=$\frac{1}{x}$，在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個函數(shù)圖象，由圖象即可求出兩個函數(shù)的交點個數(shù)，即xf（x）-1=0的根的個數(shù)．

解答 解：∵xf（x）-1=0，
得f（x）=$\frac{1}{x}$，
設(shè)y=f（x）與y=$\frac{1}{x}$，在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個函數(shù)圖象，
由圖象即可求出兩個函數(shù)的交點個數(shù)，即xf（x）-1=0的根的個數(shù)，
作出函數(shù)y=f（x）與y=g（x）=$\frac{1}{x}$的圖象如圖：
當(dāng)x＜0時，y=f（x）單調(diào)遞增，y=$\frac{1}{x}$為減函數(shù)，此時函數(shù)f（x）與y=g（x）=$\frac{1}{x}$只有一個交點．
∵f（1）=1，g（1）=1，∴f（1）=g（1），此時1是函數(shù)的一個零點．
∵f（3）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，g（3）=$\frac{1}{3}$，滿足f（3）＞g（3），∴此時在（2，4）內(nèi)有兩個交點．
∵f（5）=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{1}{4}$，g（5）=$\frac{1}{5}$，滿足f（5）＞g（5），∴此時在（4，6）內(nèi)有兩個交點，
∵f（7）=$\frac{1}{2}$f（5）=$\frac{1}{8}$，g（7）=$\frac{1}{7}$，滿足f（7）＜g（7），∴此時在（6，8）內(nèi)沒有交點，
∵f（9）=$\frac{1}{2}$f（7）=$\frac{1}{16}$，g（9）=$\frac{1}{9}$，滿足f（9）＜g（9），∴此時在（8，10）內(nèi)沒有交點，
即當(dāng)n＞7時，恒有f（x）＜g（x），此時，兩個函數(shù)沒有交點．
綜上兩個函數(shù)的交點個數(shù)為6個，
即xf（x）-1=0的根的個數(shù)為6個，
故答案為：6．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的判定定理，將求函數(shù)零點的問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象交點的問題是解答本題的關(guān)鍵．