Question

數(shù)列{an}(n∈N﹡)中,a1=0,當(dāng)3an<n2時(shí)，an+1=n2,當(dāng)3an>n2時(shí)，an+1=3an.求a2，a3，a4，a5,猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)an并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

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【解析】

試題分析：先由遞推公式分別求出的值，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

試題解析：當(dāng)時(shí)，，則，知，因?yàn)?/span>，由數(shù)列定義知.因?yàn)?/span>,由數(shù)列定義知.又因?yàn)?/span>,由定義知

4分

由此猜測(cè):當(dāng)n≥3時(shí)， 6分

下面用數(shù)學(xué)歸納法去證明:當(dāng)n≥3時(shí)，3an>n2.當(dāng)n=3時(shí)，由前面的討論知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí)，成立.則由數(shù)列定義知,從而.所以，即當(dāng)n=k+1(k≥3)時(shí)，成立. 故當(dāng)n≥3時(shí)，.而.因此. 11分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，，，( n≥3) 13分

考點(diǎn)：推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法.