Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P（1，

2 3

3

）是橢圓上的一點，且|PF₁|+|PF₂|=2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l₁，l₂分別過點F₁，F(xiàn)₂，且l₁⊥l₂，直線l₁交橢圓C于D、E兩點，直線l₂交橢圓C于M、N兩點，求四邊形DMEN面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

2a=2 3 1 a2 + 4 3b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當l₁，l₂斜率都存在時，設DE：y=k（x+1），代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，由此求出|DE|=

4 3 (k2+1)

3k2+2

，同理，|MN|=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

，從而求出k=±1時S=

96

25

；當l₁，l₂有一條斜率不存在時，S=4，由此求出四邊形DMEN面積的最小值為

96

25

．

解答： （Ⅰ）證明：∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
點P（1，

2 3

3

）是橢圓上的一點，且|PF₁|+|PF₂|=2

3

，
∴

2a=2 3 1 a2 + 4 3b2 =1

，解得a=

3

，b=

2

，
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解：①當l₁，l₂斜率都存在時，設DE：y=k（x+1），
代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則x1+x2=

-6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

，
|x₁-x₂|=

4 3 • k2+1

3k2+2

，
∴|DE|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

3k2+2

，
∵l₁⊥l₂，同理，|MN|=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

，
∴S=

1

2

|DE|•|MN|=

24[(k2+ 1 k2 )+2]

6(k2+ 1 k2 )+13

 ，
令t=k²+

1

k2

，得S=4-

4

13+6×2

=

96

25

，
等號成立的條件是k=

1

k

，即k=±1．
②當l₁，l₂有一條斜率不存在時，S=4．
由①②得四邊形DMEN面積的最小值為

96

25

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．