Question

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為，若滿足條件：存在區(qū)間，使在上的值域為，則稱為“不動函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)是“不動函數(shù)”；

（2）若函數(shù)是“不動函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）可判斷在上單調(diào)遞增，取，得出；取，得出．即在區(qū)間上的值域為，即得出是“不動函數(shù)”；

（2）可判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)是“不動函數(shù)”可得出，存在使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為．從而得出方程在上至少有兩個不相等的實數(shù)根．即在上至少有2個解，等價于和的圖像至少有2個交點，研究函數(shù)圖像即可求出的取值范圍．

（1）要證：存在區(qū)間使得在上的值域為，

又由于在是一個單調(diào)遞増的函數(shù)，

故只需證存在實數(shù)，滿足，且有

觀察得，，

即存在，符合題意，

故函數(shù)是“不動函數(shù)”.

（2）由題，定義域為，即存在實數(shù)，滿足，使得在區(qū)間上的值域為，

由于在定義域上單調(diào)遞増，從而有，

該方程組等價于方程在有至少2個解，

即在上至少有2個解，

即和的圖像至少有2個交點，

記，則，且，從而有，

記，配方得，

又，作出的圖像可知，時有兩個交點，

綜上，的取值范圍為.