Question

已知橢圓C₁的方程為

x2

4

+y²=1，雙曲線C₂的左、右焦點(diǎn)分別是C₁的左、右頂點(diǎn)，而C₂的左、右頂點(diǎn)分別是C₁的左、右焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)根據(jù)橢圓方程求得雙曲線的左右頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，進(jìn)而求得雙曲線方程中的a和b，則雙曲線方程可得．
（2）將直線代入雙曲線方程消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式求得k的范圍，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)

OA

•

OB

＞2求得關(guān)于k的不等式，求得k的范圍，最后綜合求得答案．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線C₂的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則a²=4-1=3，c²=4，
由a²+b²=c²，得b²=1，
故C₂的方程為

x2

3

-y²=1．
（2）將y=kx+

2

代入

x2

3

-y²=1，得
（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直線l與雙曲線C₂交于不同的兩點(diǎn)，得

1-3k2≠0 (-6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0

∴k²≠

1

3

且k²＜1．①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x₁x₂=

-9

1-3k2

．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+

2

）（kx₂+

2

）
=（k²+1）x₁x₂+

2

k（x₁+x₂）+2=

3k2+7

3k2-1

．
又∵

OA

•

OB

＞2，得x₁x₂+y₁y₂＞2，
∴

3k2+7

3k2-1

＞2，
即

-3k2+9

3k2-1

＞0，解得

1

3

＜k²＜3，②
由①②得

1

3

＜k²＜1，
故k的取值范圍為（-1，-

3

3

）∪（

3

3

，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)．