Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[-2015，2015]上的最大值與最小值之和為2．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[-2015，2015]上的最大值為g（x）_max+1，最小值為g（x）_min+1，
函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[-2015，2015]上的最大值與最小值之和為g（x）_max+1+g（x）_min+1．

解答 解，設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，
令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，g（x）是R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
g（x）_max+g（x）_min=0
函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[-2015，2015]上的最大值為g（x）_max+1，最小值為g（x）_min+1，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[-2015，2015]上的最大值與最小值之和為
g（x）_max+1+g（x）_min+1=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性及最值，恰當(dāng)運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．