【題目】如圖,三棱錐中,.
(1)求證:;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)BO,DO,推導(dǎo)出AC⊥DO,AC⊥BO,從而AC⊥平面BOD,由此能證明BD⊥AC.
(2)以O為原點(diǎn),OB為x軸,OC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出直線BC與平面ABD所成角的正弦值.
證明:(1)取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)BO,DO,
∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC,△ADC均為等腰三角形,
∴AC⊥DO,AC⊥BO,
∵DO∩BO=O,∴AC⊥平面BOD,
∵BD平面BOD,∴BD⊥AC.
解:(2)∵CA=AB,AB=BC=CD=DA,
∴OD=OB=,
∴OD2+OB2==BD2,∴,
∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角,∴平面DAC⊥平面BAC,
如圖,以O為原點(diǎn),OB為x軸,OC為y軸,OD為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,
設(shè)A(0,﹣1,0),則C(0,1,0),B(,0,0),D(0,0,),
∴=(﹣,1,0),= ,=(0,1,),
設(shè)平面ABD的法向量=(x,y,z),
則,取x=1,得=(1,﹣,1),
設(shè)直線BC與平面ABD所成角為θ.
則直線BC與平面ABD所成角的正弦值為:
sinθ=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是平面內(nèi)互不平行的三個(gè)向量,,有下列命題:
①方程不可能有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解;
②方程有實(shí)數(shù)解的充要條件是;
③方程有唯一的實(shí)數(shù)解;
④方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.
其中真命題有 .(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)在(1)的條件下,求證:f(x)≥-+-4x+.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4,動(dòng)直線交拋物線于坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A,交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B,若動(dòng)點(diǎn)P滿足,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.
(1)求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(3)以下給出曲線C的四個(gè)方面的性質(zhì),請(qǐng)你選擇其中的三個(gè)方面進(jìn)行研究:①對(duì)稱(chēng)性;②范圍;③漸近線;④時(shí),寫(xiě)出由確定的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)為常數(shù),)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則函數(shù)的圖象( 。
A. 關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B. 關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
C. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸正半軸有公共點(diǎn),求的取值范圍;
(2)求證:時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方體的棱長(zhǎng)為4,E、F分別是棱AB、的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)EF、、、E、E、E.
求三棱錐的體積;
求直線與平面所成角的大小結(jié)果用反三角函數(shù)值表示.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)外賣(mài)現(xiàn)已成為上班族解決午餐問(wèn)題的一種流行趨勢(shì).某配餐店為擴(kuò)大品牌影響力,決定對(duì)新顧客實(shí)行讓利促銷(xiāo),規(guī)定:凡點(diǎn)餐的新顧客均可獲贈(zèng)10元或者16元代金券一張,中獎(jiǎng)率分別為和,每人限點(diǎn)一餐,且100%中獎(jiǎng).現(xiàn)有A公司甲、乙、丙、丁四位員工決定點(diǎn)餐試吃.
(Ⅰ) 求這四人中至多一人抽到16元代金券的概率;
(Ⅱ) 這四人中抽到10元、16元代金券的人數(shù)分別用、表示,記,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為,設(shè)其前n項(xiàng)和為,且對(duì)有,.
(1)設(shè),求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在正整數(shù)m,k,使得,,成等差數(shù)列?若存在,求出m,k的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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