Question

3．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ.\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t.\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C與直線l相交于點(diǎn)A，B，且定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消參數(shù)θ得出普通方程；
（II）把直線的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）把$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得$3{（1+\frac{1}{2}t）^2}+4{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=12$，
化簡(jiǎn)得：5t²+4t-12=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=-$\frac{12}{5}$，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，屬于中檔題．