Question

（2013•汕頭一模）已知函數(shù)f（x）=x²-lnx．
（1）求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-x²+ax，a＞0，若x∈（O，e]時，g（x）的最小值是3，求實數(shù)a的值．（e是為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（1）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)小于0求出自變量x在定義域內(nèi)的取值范圍，則原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間可求．
（3）求導函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)g（x）的最小值是3，即可求出a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-lnx
∴f′（x）=2x-

1

x

．
∴f'（1）=1．
又∵f（1）=1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-1=x-1．即x-y=0．
（2）因為函數(shù)f（x）=2x²-lnx的定義域為（0，+∞），
由f′（x）=2x-

1

x

＜0，得0＜x＜

2

2

．
所以函數(shù)f（x）=x²-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

2

2

）．
（3）∵g（x）=ax-lnx，∴g′（x）=

ax-1

x

，令g′（x）=0，得x=

1

a

，
①當

1

a

≥e時，即0＜a≤

1

e

時，g′（x）=

ax-1

x

≤0在（0，e]上恒成立，
則g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②當0＜

1

a

＜e時，即a＞

1

e

時，列表如下：

由表知，g（x）_min=g（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
綜上，所求實數(shù)a=e²，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，是中檔題．