Question

已知直線(xiàn)y=x+1與橢圓（m＞n＞0）相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

3

，則雙曲線(xiàn)

x2

m2

-

y2

n2

=1的兩條漸近線(xiàn)夾角的正切值是

 

．

Answer 1

分析：把直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x₁+x₂=-

2

3

，求得n和m的關(guān)系，求得漸近線(xiàn)的斜率，進(jìn)而根據(jù)兩條漸近線(xiàn)夾角為漸近線(xiàn)的斜率的兩倍，進(jìn)而根據(jù)正切的二倍角公式求得答案．

解答：解：把直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立

y=x+1 mx 2+ny 2=1

消去y得（m+n）x²+2nx+n-1=0
∴x₁+x₂=-

2n

m+n

=-

2

3

∴

n

m

=

1

2

∴兩條漸近線(xiàn)夾角的正切值為

2• n m

1- n 2 m 2

=

4

3

故答案為

4

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．要熟練記憶雙曲線(xiàn)關(guān)于漸近線(xiàn)、焦點(diǎn)、定義等知識(shí)點(diǎn)．