【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[﹣3,3].
(Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x+2)>0;
(Ⅱ)若a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=m,求證: ≥3.
【答案】解:(Ⅰ)因為f(x+2)=m﹣|x|,f(x+2)≥0等價于|x|≤m, 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|﹣m≤x≤m}.
又f(x+2)≥0的解集為[﹣3,3],故m=3.
所以f(x)+f(x+2)>0可化為:3﹣|x﹣2|+3﹣|x|>0,∴|x|+|x+2|<6.
①當(dāng)x≤﹣2時,﹣x﹣x﹣2<6,∴x>﹣4,又x≤﹣2,∴﹣4<x≤﹣2;
②當(dāng)﹣2<x≤0時,﹣x+x+2<6,∴2<6,成立;
③當(dāng)x>0時,x+x+2<6,∴x<2,又x>0,∴0<x<2.
綜上①、②、③得不等式f(x)+f(x+2)>0的解集為:{x|﹣4<x<2}
(Ⅱ)證明:a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=3,
因為( )(a+b+c)≥(b+c+a)2 , 所以 ≥3
【解析】(Ⅰ)利用已知條件,轉(zhuǎn)化不等式為絕對值不等式,求m的值,分類討論,即可解不等式:f(x)+f(x+2)>0;(Ⅱ)直接利用柯西不等式,即可證明結(jié)論.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA= ,∠ACB=90°,M是線段PD上的一點(不包括端點). (Ⅰ)求證:BC⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角D﹣PC﹣A的正切值;
(Ⅲ)試確定點M的位置,使直線MA與平面PCD所成角θ的正弦值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) ,且αsinα﹣βsinβ>0,則下列不等式必定成立的是( )
A.α>β
B.α<β
C.α+β>0
D.α2>β2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 有且僅有四個不同的點關(guān)于直線y=1的對稱點在直線kx+y﹣1=0上,則實數(shù)k的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某單位的職工食堂中,食堂每天以3元/個的價格從面包店購進(jìn)面包,然后以5元/個的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的面包以1元/個的價格賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計資料,得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示.食堂某天購進(jìn)了90個面包,以x(單位:個,60≤x≤110)表示面包的需求量,T(單位:元)表示利潤.
(Ⅰ)求T關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于100元的概率;
(Ⅲ)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率(例如:若需求量x∈[60,70),則取x=65,且x=65的概率等于需求量落入[60,70)的頻率),求T的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過橢圓 右焦點的直線 交橢圓C于M,N兩點,P為M,N的中點,且直線OP的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)另一直線l與橢圓C交于A,B兩點,原點O到直線l的距離為 ,求△AOB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果對一切實數(shù)x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞, ]
B.[3,+∞)
C.[﹣2 ,2 ]
D.[﹣3,3]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ< )圖象上每一點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移 個單位長度得到y(tǒng)=cosx的圖象,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
B.[kπ﹣ ,kπ﹣ ](k∈Z)
C.[4kπ﹣ ,kπ﹣ ](k∈Z)
D.[4kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),l: (t為參數(shù))
(1)求曲線C的普通方程,l的直角坐標(biāo)方程
(2)設(shè)l與C交于M,N兩點,點P(﹣2,0),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實數(shù)a的值.
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