已知函數(shù)
(1)求證:函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點;
(2)當時,若關于的不等式恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.

(1)詳見解析;(2).

解析試題分析:(1)先求,看兩值是否異號,然后證明在[0,1]上單調(diào)性,即可證明函數(shù)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點;
(2)由得:,令,則, . 令,則,,,
所以上單調(diào)遞增,,對a進行討論得出結論.
試題解析:(1),          1分
,
, ∴在區(qū)間上存在零點.          3分
,則
在區(qū)間上單調(diào)遞增,                5分
在區(qū)間上存在唯一的極小值點.           6分
(2)由得:
,則,
,則,
所以上單調(diào)遞增,.          9分
(1)當時,恒成立,即,
所以上單調(diào)遞增,  .           11分
(2)當時,存在使,即,
時,,所以上單調(diào)遞減,
,這與恒成立矛盾.
綜合(1)、(2)得:.                 14分
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;函數(shù)在某點取得極值的條件.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),,
(1)若,試判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,求函數(shù)的最大值的表達式

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)..
(1)設曲線處的切線為,點(1,0)到直線l的距離為,求a的值;
(2)若對于任意實數(shù)恒成立,試確定的取值范圍;
(3)當是否存在實數(shù)處的切線與y軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極小值;
(2)求函數(shù)的遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

巳知函數(shù),,其中.
(1)若是函數(shù)的極值點,求的值;
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(3)記,求證:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在區(qū)間內(nèi)存在,使不等式成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知
(1)求的單調(diào)增區(qū)間
(2)若內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

為實數(shù),函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)求證:當時,

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.
(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

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