Question

2．（1）已知角α終邊上一點P（-4，3），求$\frac{{cos（\frac{π}{2}+α）sin（-π-α）}}{{cos（\frac{11π}{2}-α）sin（\frac{9π}{2}+α）}}$的值．
（2）已知sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，0≤α≤π，求cos（2α-$\frac{π}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點P的坐標求得α的正切函數(shù)值，然后利用誘導公式對所求的代數(shù)式進行化簡，并代入求值即可；
（2）由題意和同角三角函數(shù)基本關系可得sinα和cosα，進而由二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入兩角差的正弦公式計算可得．

解答 解：（1）．∵角α終邊上一點P（-4，3），
∴$tanα=\frac{y}{x}=-\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{cos（\frac{π}{2}+α）sin（-π-α）}}{{cos（\frac{11π}{2}-α）sin（\frac{9π}{2}+α）}}$=$\frac{-sinα•sinα}{-sinα•cosα}$=tanα=$-\frac{3}{4}$；
（2）把$sinα+cosα=\frac{1}{5}$（1），
平方得：${sin^2}α+2sinαcosα+{cos^2}α=\frac{1}{25}$，即$2sinαcosα=-\frac{24}{25}＜0$．
又0≤α≤π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＜0，
∴${（sinα-cosα）^2}=1-2sinαcosα=\frac{49}{25}$即$sinα-cosα=\frac{7}{5}（2）$，
聯(lián)立（1）（2）得$sinα=\frac{4}{5}，cosα=-\frac{3}{5}$，
∴$sin2α=2sinαcosα=2×\frac{4}{5}（-\frac{3}{5}）=-\frac{24}{25}$，
∴$cos2α={cos^2}α-{sin^2}α={（-\frac{3}{5}）^2}-{（\frac{4}{5}）^2}=-\frac{7}{25}$，
∴$cos（2α-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（cos2α+sin2α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{-7}{25}+\frac{-24}{25}）=\frac{{-31\sqrt{2}}}{50}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角公式，屬中檔題．