Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）方程f（x）=0有三個不同的解，求a的范圍．

Answer 1

分析 （I）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（II）方程f（x）=0有三個不同的解，等價于f（-）＞0，且f（　　）＜0，即可求實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-a=0，可得
①a＞0時，x=±$\sqrt{a}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$]；
②a≤0，f′（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
（II）方程f（x）=0有三個不同的解，等價于f（-$\sqrt{a}$）＞0，且f（$\sqrt{a}$）＜0，
∴$\frac{1}{3}$（-$\sqrt{a}$）³-a（-$\sqrt{a}$）+1＞0，且$\frac{1}{3}$（$\sqrt{a}$）³-a•（$\sqrt{a}$）+1＜0
解得：a＞${（\frac{3}{2}）}^{\frac{2}{3}}$．

點(diǎn)評 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．