Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$（n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）運(yùn)用（Ⅰ）中的猜想，寫出用三段論證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列時(shí)的大前提、小前提和結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的遞推公式可得a₂，a₃，a₄，進(jìn)而可猜想通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由三段論的模式和等差數(shù)列的定義可證．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{5}$
猜想：a_n=$\frac{2}{n+2}$；
（Ⅱ）∵通項(xiàng)公式為a_n的數(shù)列{a_n}，若a_n+1-a_n=d，d是常數(shù)，
則{a_n}是等差數(shù)列，…大前提
又∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，為常數(shù)；…小前提
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．…結(jié)論

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的邏輯推理和數(shù)列的遞推公式，屬基礎(chǔ)題．