Question

【題目】已知函數(shù) 為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線 在 處的切線方程；
（2）關(guān)于 的不等式 在 上恒成立，求實數(shù) 的值；
（3）關(guān)于 的方程 有兩個實根 ，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對函數(shù) 求導(dǎo)得 ，

∴ ，

又 ，

∴曲線 在 處的切線方程為 ，即 ；

（2）

記 ，其中 ，

由題意知 在 上恒成立，下求函數(shù) 的最小值，

對 求導(dǎo)得 ，

令 ，得 ，

當(dāng) 變化時， 變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴ ，

∴ ，

記 ，則 ，

令 ，得 ．

當(dāng) 變化時， 變化情況列表如下：

		1
	+	0	-
		極大值

∴ ，

故 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，

又 ，從而得到 ；

（3）

先證 ，

記 ，則 ，

令 ，得 ，

當(dāng) 變化時， 變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴ ，

恒成立，即 ，

記直線 分別與 交于 ，

不妨設(shè) ，則 ，

從而 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，

由（2）知， ，則 ，

從而 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，

故 ，

因等號成立的條件不能同時滿足，故 ．

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程；（2）設(shè) ，將題目轉(zhuǎn)化為g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，然后討論g（x）的單調(diào)性，表示出其最小值，其最小值大于等于0即可；（3）先證 ，設(shè) ，根據(jù)h（x）的單調(diào)性求出最小值，得h（x）恒大于零，即 。記直線 分別與 交于 ，令 ，則 ，得 ，因等號成立的條件不能同時滿足，故 ．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．