Question

（湖北卷文17）  已知函數(shù)（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9.

 （Ⅰ）求m的值；

 （Ⅱ）若斜率為的直線是曲線的切線，求此直線方程.

Answer 1

【試題解析】

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,

    當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		極大值		極小值

從而可知，當x=－m時，函數(shù)f(x)取得極大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

【試題解析】本題主要考查應用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法和運算能力。

【高考考點】函數(shù)的性質(zhì)與切線方程的求法。

【易錯提醒】忽略“為常數(shù)，且”

【備考提示】函數(shù)的本質(zhì)在于把握函數(shù)的性質(zhì).