已知函數(shù)F(x)=ex滿足F(x)=g(x)+h(x),且g(x),h(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),若?x∈[1,2]使得不等式g(2x)-ah(x)≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(-∞,2
2
)
B.(-∞,2
2
]
C.(0,2
2
]
D.(2
2
,+∞)
∵F(x)=g(x)+h(x),且g(x),h(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),
∴g(x)+h(x)=ex,
則g(-x)+h(-x)=e-x
即g(x)-h(x)=e-x,
解得g(x)=
ex+e-x
2
,h(x)=
ex-e-x
2
,
則?x∈[1,2]使得不等式g(2x)-ah(x)≥0恒成立,
等價為
e2x+e-2x
2
-a?
ex-e-x
2
≥0
恒成立,
a≤
e2x+e-2x
ex-e-x
=
(ex-e-x)2+2
ex-e-x
=(ex-e-x)+
2
ex-e-x

設(shè)t=ex-e-x,則函數(shù)t=ex-e-x在[1,2]上單調(diào)遞增,
∴e-e-1≤t≤e2-e-2,
此時 不等式t+
2
t
≥2
t•
2
t
=2
2
,
∴a≤2
2

即實數(shù)a的取值范圍是a≤2
2
,
故選:B.
練習(xí)冊系列答案
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A.(
1
e
,e2+
1
e
B.(0,e2+
1
e
C.(e2+
1
e
,+∞)
D.(-∞,e2+
1
e

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1
ex-1
)sinx
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A.(-∞,0]∪[1,+∞)B.[0,1]C.[e,2e]D.(-∞,e)∪[2e,+∞)

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