Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點F（﹣1，0），過直線l：x=﹣2右側的動點P作PA⊥l于點A，∠APF的平分線交x軸于點B，|PA|= |BF|．

（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線q交曲線C于M，N，試問：x軸正半軸上是否存在點E，直線EM，EN分別交直線l于R，S兩點，使∠RFS為直角？若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x，y），由平面幾何知識得：

= ，即 = ，

化簡，得：x2+2y2=2，

∴動點P的軌跡C的方程為x2+2y2=2（x ）．

（2）解：假設滿足條件的點E（n，0）（n＞0）存在，

設直線q的方程為x=my﹣1，

M（x1，y1），N（x2，y2），R（﹣2，y3），S（﹣2，y4），

聯立 ，得：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，

y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

=﹣ +1= ，

=﹣ ，

由條件知 = ，y3=﹣ ，

同理 ，

=﹣y3，kSF=﹣y4，

由于∠RFS為直角，∴y3y4=﹣1，即（2+n2）y1y2=﹣[x1x2+n（x1+x2）+n2]，

（2+n）2 = + +n2，

∴（n2﹣2）（m2+1）=0，解得n= ，

∴滿足條件的點E存在，其坐標為（ ，0）．

【解析】（1）設P（x，y），由平面幾何知識得 = ，由此能求出動點P的軌跡C的方程．（2）假設滿足條件的點E（n，0）（n＞0）存在，設直線q的方程為x=my﹣1，聯立 ，得：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，由此利用韋達定理、直線方程、橢圓性質，結合已知條件能求出滿足條件的點E存在，其坐標為（ ，0）．