【題目】如圖,棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AC= ,BC=BB1=2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)∵在底面ABCD中,AB=1,AC= ,BC=2, ∴AB2+AC2=BC2 , ∴AB⊥AC,
∵側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,∴AA1⊥AC,
又∵AA1∩AB=A,AA1 , AB平面ABB1A1 ,
∴AC⊥平面ABB1A1 .
(Ⅱ)解:過(guò)點(diǎn)C作CP⊥C1D于P,連接AP,
由(Ⅰ)可知,AC⊥平面DCC1D1 ,
∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角,
∵CC1=BB1=2,CD=AB=1,∴CP= = = ,
∴tan = ,∴cos ,
∴二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出AB⊥AC,AA1⊥AC,由此能證明AC⊥平面ABB1A1 . (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)C作CP⊥C1D于P,連接AP,則AC⊥平面DCC1D1 , 從而∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角,由此能求出二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AD為圓O的直徑,直線BA與圓O相切于點(diǎn)A,直線OB與弦AC垂直并相交于點(diǎn)G,與弧AC相交于M,連接DC,AB=10,AC=12.
(1)求證:BADC=GCAD;
(2)求BM.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin(θ+ )=2 .
(1)求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程;
(2)求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,過(guò)其右焦點(diǎn)F且與x軸垂直的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),橢圓C的右頂點(diǎn)為R,且滿足.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若斜率為k(其中)的直線l過(guò)點(diǎn)F,且與橢圓交于點(diǎn)A,B,弦AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓交于點(diǎn)C,D,求四邊形ACBD面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn),的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,動(dòng)點(diǎn)滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)當(dāng)四邊形的面積最小時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先把函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象上個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 (縱坐標(biāo)不變),再向右平移 個(gè)單位,所得函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的值可以是( )
A.
B.
C.-
D.-
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+2= ,且a1=1,a2=2.
(1)求a3﹣a6+a9﹣a12+a15的值;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 當(dāng)Sn>2017時(shí),求n的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn),任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線稱為歐拉線已知的頂點(diǎn),若其歐拉線的方程為,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
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