Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB），若

m

∥

n

，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：首先化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1；
（1）由題意，2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）；再與[0，

π

2

]求交集即可；
（2）由題意可得1sinB=2sinA；再由正弦定理可得b=2a．

解答： 解：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1；
（1）由題意，2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）；
故kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z）；
故當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

6

]；
（2）∵

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB），

m

∥

n

，
∴1sinB=2sinA；
即b=2a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了平面向量與正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．