Question

已知兩個(gè)不共線的向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），則以下結(jié)論中正確的有（　　）
①（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）　                      
②

a

與

b

的夾角為α-β
③|

a

+

b

|＜2                               
④

a

與

b

在

a

+

b

方向上的投影相等．

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、①③

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：由已知條件，利用平面向量的數(shù)量積、向量的夾角公式、向量的模、向量的投量求解．

解答： 解：∵兩個(gè)不共線的向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴在①中：（

a

+

b

）•（

a

-

b

）
=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）•（cosα-cosβ，sinα-sinβ）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），故①正確；
在②中：cos＜

a

，

b

＞=

cosαcosβ+sinαsinβ

1×1

=cos（α-β），
∴

a

與

b

的夾角為α-β，故②正確；
在③中：|

a

+

b

|=|cosα+cosβ，sinα+sinβ|
=

(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2

=

2+2cosαcosβ+2sinαsinβ

=

2+2cos(α-β)

≤2，故③錯(cuò)誤；
在④中：

a

在

a

+

b

方向上的投影為：
|

a

|•cos＜

a

，

a

+

b

＞=

cosα•(cosα+cosβ)+sinα(sinα+sinβ)

| a + b |

=

1+cos(α-β)

| a + b |

．

b

在

a

+

b

方向上的投影為：
|

b

|•cos＜

b

，

a

+

b

＞=

cosβ(cosα+cosβ)+sinβ(sinα+sinβ)

| a + b |

=

1+cos(α-β)

| a + b |

．
∴

a

與

b

在

a

+

b

方向上的投影相等，故④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量知識(shí)的合理運(yùn)用．