Question

如圖，已知雙曲線（a＞0，b＞0）其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足：（O為原點）且
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點B的直線l交雙曲線于 M、N兩點，問在y軸上是否存在定點C，使?為常數(shù)，若存在，求出C點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)條求出A，B，P三點的坐標，結(jié)合求出D的坐標，再根據(jù)即可求出a和b之間的關(guān)系，進而求出曲線的離心率；
（2）先假設(shè)存在定點C（0，n）使為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1；聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求出M，N的坐標與k之間的關(guān)系以及k所滿足的范圍；再求出的值結(jié)合為常數(shù)即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）由題得B（0，-b），A（，P（c，）
∵2
∴D為線段FP的中點  （1分）
∴D（c，，
∵
即A、B、D共線（2分）
∴而?，
?∴-得a=2b
∴e=（4分）?
（2）∵a=2而e=
∴雙曲線方程為①（5分）
∴B（0，-1）
假設(shè)存在定點C（0，n）使為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1   ②（6分）
由②代入①得（1-4k²）x²+8kx-8=0
由題意得得
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴?（8分）
而?
=?
整理得：[4（n+1）²-8n-4u]k²+[8-（n+1）²+u]=0     （10分）
對滿足，
∴解得n=4，u=17
故存在y軸上的定點C（0，4），使為常數(shù)17    （14分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應用，解題時要注意公式的靈活運用，認真審題，仔細解答．其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．