Question

【題目】已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)的和.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，，成等差數(shù)列，，18，成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值；

（3）是否存在，使得為數(shù)列中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2），.（3）或14.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由 列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列 .

（2）建立方程組，或.當(dāng) ，當(dāng) 無正整數(shù)解，綜上，.

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得， ，或，，，（舍去） 或14.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，，

所以當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，

由 和，

兩式相除可得，，即

所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列.

于是，.

（2）因?yàn)?/span>，30，成等差數(shù)列，，18，成等比數(shù)列，

所以，于是，或.

當(dāng)時(shí)，，解得，

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解，

所以，.

（3）假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，使得，

則，

平方并化簡得，，

則，

所以，或，或，

解得：，或，，或，（舍去），

綜上所述，或14.