Question

13．已知f（x）=sinx+cosx+sin2x，若?t∈R，x∈R，asint+3a+1≥f（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
• C． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{4}，+∞}）$
• D． $[\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 令m=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，則f（x）=sinx+cosx+sin2x=m²+m-1=g（m），利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得：g（m）_max=1+$\sqrt{2}$，
再分離參數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：令m=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
則m²=1+2sinxcosx，
∴sin2x=m²-1．
∴f（x）=sinx+cosx+sin2x=m²+m-1=g（m），
∴g（m）=（m+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，函數(shù)g（m）在[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）內(nèi)單調(diào)遞減，在（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）內(nèi)單調(diào)遞增．
g（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$．
∴g（m）_max=1+$\sqrt{2}$．
∵?t∈R，x∈R，asint+3a+1≥f（x）恒成立，
∴asint+3a+1≥1+$\sqrt{2}$，
化為a≥$\frac{\sqrt{2}}{3+sint}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{3+sint}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)求值、二次函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．