Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，方程有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)定義域和導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，找出臨界值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的值域以及單調(diào)性，從而解決問題.

（1）依題意函數(shù)的定義域為，，

令，則 ，故在單調(diào)遞增，

又 ，所以當(dāng)時，， 即，

當(dāng)時，，即；

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）方程化簡可得，

所以方程有兩解等價于方程有兩解，

設(shè)，則，

令，由于，

所以在單調(diào)遞減，

又，所以當(dāng)時，， 即

當(dāng)時，，即；

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以在時取得最大值，

又，，

所以存在，使得

又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，；

當(dāng)時，，即.

因為在上單調(diào)遞減，

且當(dāng)時，，.

所以方程有兩解只須滿足，

解得：

所以方程有兩個不同的實數(shù)解時，

實數(shù)的取值范圍是.