Question

在某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中共有甲、乙、丙三題，共25人參加競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)至少選作一題．在所有沒(méi)解出甲題的同學(xué)中，解出乙題的人數(shù)是解出丙題的人數(shù)的2倍；解出甲題的人數(shù)比余下的人數(shù)多1人；只解出一題的同學(xué)中，有一半沒(méi)解出甲題，問(wèn)共有多少同學(xué)解出乙題？

Answer 1

考點(diǎn)：Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算

專題：計(jì)算題,作圖題,集合

分析：由題意列出等式：a+b+c+d+e+f+g=25①；b+f=2（c+f）②；a+d+e+g=13；③b+f+c=12④；a=b+c⑤．分析討論即可．

解答： 解：設(shè)解出甲、乙、丙三題的學(xué)生的集合分別為A、B、C，并用三個(gè)圓表示之，
則重疊部分表示同時(shí)解出兩題或三題的學(xué)生的集合，其人數(shù)分別以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每個(gè)學(xué)生至少解出一題，故a+b+c+d+e+f+g=25①；
由于沒(méi)有解出甲題的學(xué)生中，解出乙題的人數(shù)是解出丙題的人數(shù)的2倍，故b+f=2（c+f）②；
由于解出甲題的人數(shù)比余下的人數(shù)多1人，故a+d+e+g=13③
，b+f+c=12④，由于只解出一題的學(xué)生中，有一半沒(méi)有解出甲題，故a=b+c⑤，
由②得：b=2c+f，f=b-2c⑥，
以⑥代入④消去f得2b-c=12，又∵b+c≤12，
∴b=6，c=0或b=7，c=2，或b=8，c=4；
（1）若b=6，c=0，則a=b+c=6，f=b-2c=6，
則d+e+g=25-18=7，
則解出乙題的有：b+d+f+g=6+6+7-e
=19-e，
故可以為12，13，14，15，16，17，18，19．
（2）若b=7，c=2，則a=b+c=9，f=b-2c=3，
則d+e+g=25-21=4，
則解出乙題的有：b+d+f+g=7+3+4-e=14-e，
故可以為10，11，12，13，14；
（3）若b=8，c=4，則a=b+c=12，f=b-2c=0，
則d+e+g=25-24=1，
則解出乙題的有：b+d+f+g=8+0+1-e=9-e，
故可以為：8，9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合內(nèi)的元素的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，討論很復(fù)雜，要細(xì)心，屬于中檔題．